近日，南方科技大学物理系刘奇航教授课题组在描述磁性材料的对称性理论——自旋空间群理论研究中取得进展，相关成果以“Enumeration and Representation Theory of Spin Space Groups”为题发表在学术期刊《物理评论X》（Physical Review X）上。

对称性在物理学和材料学的世界中一直扮演着核心角色。早在19世纪末，科学家们就已经开始探索晶体的对称性，并发展出一套描述晶体固体性质和行为的基本框架，即晶体群理论，包括32个晶体点群和230个晶体空间群。晶体群理论的核心是描述三维非磁性或顺磁性固体所有的对称元素，这些对称元素包括旋转、反演、反射、平移以及它们的组合。

在20世纪初，空间群理论得到了进一步的发展。在这一时期，科学家们开始意识到除了几何对称性外，磁性材料还表现出了额外的对称性。这些对称性与材料内部的原子或离子的自旋磁矩有关。20世纪中叶，晶体学家 Alexei V. Shubnikov 等人对磁性材料的对称性进行了深入研究，他们将反对称操作引入空间群，并提出了磁性点群和磁性空间群的概念。这些群不仅包括了几何对称操作，还包括了使自旋翻转的操作，为磁性材料的对称性分析提供了新的视角。晶体群和磁群理论的建立不仅帮助研究人员理解了晶体中的诸多特性，还推动了固体物理学、半导体科学乃至材料工程等领域的飞速发展。

尽管磁群理论被认为是描述所有磁有序材料几何特征及其物理性质的普适理论，但随着对磁性材料更深入的研究，人们逐渐意识到需要一个更加全面的群来完全表征磁有序材料的几何形状和物理性质。这源于自旋磁矩作为材料的内秉自由度，除了翻转属性外还具有可旋转的轴矢量属性。因此，自旋空间的对称操作在不考虑与晶格耦合的情况下，可以独立于晶格对称操作而存在。一个典型的例子是晶体中的顺磁——铁磁相变对应的是自旋SU(2)旋转对称性的破缺。而在磁群中，自旋和晶格的转动是严格锁定在一起的。如果要完整描述磁有序材料的构型，需要将晶格和自旋空间的对称操作分开考虑（如图1），从而构成一个更庞大的群——自旋群，包括自旋点群和自旋空间群。

晶体群和磁群理论已完整建立了数十年，并被写进了教科书。相比之下，对自旋群，尤其是自旋空间群基本理论的研究，国内外仍处于刚起步的阶段。在19世纪70年代，来自宾夕法尼亚大学的 Daniel B. Litvin 教授团队穷举了598种自旋点群。从2021年起，刘奇航教授团队开始聚焦于自旋群的新理论框架和新效应预测两个方向，并取得一些成果，包括对于共线、共面和非共面磁结构的自旋点群分类（Phys. Rev. X 12, 021016 (2022)）；磁性材料中的关联增强自旋轨道耦合效应（Nat. Commun. 13, 919 (2022)）；手性狄拉克费米子（The Innovation 3, 100343 (2022)）；以及与物理系刘畅教授合作首次发现反铁磁体中的自旋劈裂现象（Nature 626, 523 (2024)）等。

对于自旋空间群，由于晶体平移和自旋旋转的耦合，使得其分类和表示理论的研究更具挑战性。在本研究中，研究团队在拓展自旋空间群枚举和表示理论方向完成了如下工作：

（1）从230个晶体空间群和最大阶数为八的有限平移群出发，建立了包含超过10万个自旋空间群的完整枚举集合；

（2）为所有自旋空间群开发了国际符号，方便从群符号直接读出所有的对称操作；

（3）开发在线程序FINDSPINGROUP，可识别任何磁有序晶体的自旋群和磁群对称性以及相关物理效应，例如自旋劈裂，反常霍尔效应，量子几何等；

（4）发展自旋空间群的表示理论，即用来标定量子态波函数的动量空间中波矢群的不可约共表示。

这项工作不仅推进了描述磁有序材料的对称性理论，还为深入理解和探索磁性材料中的演生现象开辟了新的途径。通过几个代表性材料的例子，包括交错磁体候选材料RuO₂的额外能带简并、螺旋磁体CeAuAl₃中的螺旋自旋极化，以及非共面反铁磁体CoNb₃S₆中的几何霍尔效应等，研究团队展示了如何通过自旋群对称性分析，理解超越磁群框架下的新奇物理效应。

该文章的第一作者包括南科大物理系博士后陈晓冰（目前任职粤港澳大湾区量子科学中心副研究员）、物理系2021级硕士研究生任俊、数学系2019级博士研究生朱砚舟、物理系2023级硕士研究生余雨曈，合作者包括数学系讲席教授李才恒等，刘奇航教授为论文的唯一通讯作者。南科大为论文第一单位。此项工作得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金、广东省重点领域研发计划、广东省重点实验室、广东省创新创业团队计划、深圳市科技计划和中国博士后科学基金的资助。